Dieser Text beschreibt Ellipse (Mathematik).
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Ellipse (Mathematik) ArtikelEine Ellipse ist in der Geometrie definiert als die Menge aller Punkte, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten, den Brennpunkten F1 und F2, konstant gleich 2a ist.
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Es ergibt sich folgende Figur:
Die Punkte A und B werden Hauptscheitel genannt, a ist der Abstand zwischen Mittelpunkt und einem Hauptscheitel. Die Verbindungslinie von A und B heißt Hauptachse. Analog sind C und D die Nebenscheitel, b ihr Abstand vom Mittelpunkt und die Verbindungslinie die Nebenachse. Die Hauptscheitel sind die Punkte mit dem größten Abstand vom Mittelpunkt, die Nebenscheitel diejenigen mit dem kleinsten. Haupt- und Nebenachse sind zu einander orthogonal .
Die Brennpunkte liegen in dem Abstand e, der linearen Exzentrizität, vom Mittelpunkt auf der Hauptachse. Die numerische Exzentrizität ist ein dimensionsloser Wert, der sich wie folgt ergibt:
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Die Verbindungslinien zwischen den Brennpunkten und einem Punkt der Ellipse heißen Brennlinien. Die Brennpunkte erhalten ihren Namen von einer bemerkenswerten Merkmal der Ellipse: Stellt man eine Lampe in einen Brennpunkt der Ellipse, werden die ausgesendeten Lichtstrahlen von der Ellipse so reflektiert, dass sie sich in dem anderen Brennpunkt treffen. Dieses Merkmal hängt mit der Konstruktion der Tangenten der Ellipse zusammen: Die Tangente in einem Punkt der Ellipse ist eine der Winkelsymmetralen der Brennlinien. Archimedes soll, so will es die Legende, dieses Merkmal ausgenützt haben um eine Flotte römischer Kriegsschiffe in Brand zu setzen. Mit Schilden baute er einen Teil einer großen Ellipse, in deren einen Brennpunkt er ein Feuer entzündete und in deren anderen Brennpunkt sich ein feindliches Schiff befand.
Die Decken mancher Höhlen ähneln einer Hälfte einer Ellipse. Befindet man sich in einem Brennpunkt dieser Ellipse, hört man jedes Geräusch, dessen Ursprung in dem zweiten Brennpunkt liegt, stark verstärkt ("Flüstergewölbe ").
Zwischen a, b und e gilt laut Satz von Pythagoras der Zusammenhang: a2 = b2 + e2.
Die Ellipse ist ein Kegelschnitt, der entsteht, wenn der Schnittwinkel zwischen Ebene und Kegelachse größer als der Öffnungswinkel des Doppelkegels ist. Der Kreis ist ein Sonderfall der Ellipse.
Zwei Ellipsen mit den selben Brennpunkten, bezeichnet man konfokal.
Eine Ellipse, deren Mittelpunkt in dem Ursprung des Koordinatensystems liegt und deren Hauptachse mit der x-Achse zusammen fällt, bezeichnet man Ellipse in 1. Hauptlage. In der ebenen analytischen Geometrie kann eine Ellipse in erster Hauptlage mit folgender Gleichung dargestellt werden.
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Gabriel Lamé verallgemeinerte die Ellipse (Lamésche Kurve, Superellipse).
Eine ihrer Anwendungen finden Ellipsen in der Astronomie, zu dem Beispiel in den Keplerschen Gesetzen. Sie werden auch häufig in Grafiken verschiedenster Art benutzt. Österreichern sind sie zu dem Beispiel in dem (alten?) ORF-Logo bekannt.
Wendet man die Ellipsendefinition in dem Raum an oder rotiert man eine Ellipse um ihre Hauptachse, entsteht ein Ellipsoid.
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Ellipsen lassen sich ca. punktweise konstruieren, d.h. eine genaue Konstruktion wie zu dem Beispiel beim Kreis ist unmöglich. Mit Hilfe der Krümmungskreise (siehe unten) und einem Kurvenlineal lässt sich aber auch zeichnerisch ein relativ genaues Bild der Ellipse erstellen. Um aber zu dem Beispiel eine Gerade genau mit einer Ellipse schneiden zu können braucht man besondere Konstruktionstechniken, welche die Merkmale der Ellipse ausnützen.
Die Ellipse lässt sich am einfachsten zeichnen, wenn die beiden Brennpunkte und die Länge der Hauptachse angegeben ist. Dann kann man einfach einzelne Punkte mittels der Ellipsendefinition konstruieren und diese "verbinden".
Um die Konstruktion zu vereinfachen, kann man zuerst die Scheitelkrümmungskreise bestimmen. Dies sind Kreise, die die Ellipse in der Nähe der Scheitel gut annähern, da sie die selbe Krümmung besitzen wie die Ellipse in den Scheiteln.
Eine Möglichkeit die Ellipse "genau" zu zeichnen ist die so genannte Gärtnerkonstruktion: Um ein ellipsenförmiges Blumenbeet zu erstellen befestigt man eine Schnur mit der Länge 2a an zwei Pflöcken, die in den Brennpunkten stehen. Nun spannt man die Schnur und fährt mit einem Markierungsgerät an ihr entlang. Diese Konstruktion ist natürlich in der klassischen Geometrie nicht erlaubt.
 Ellipsenzirkel nach Frans van Schoten aus dem 17. Jahrhundert Ebenfalls können Ellipsen mit Frans van Schootens Ellipsenzirkel oder darauf beruhenden Nachbauten konstruiert werden. Der Gelenkmechanismus wurde von dem holländischen Mathematiker in dem 17. Jahrhundert erfunden. Wenn man am Stift in Punkt E zieht, zeichnet dieser eine Ellipse. Der Mechanismus ist an den Brennpunkten H und I auf der Zeichenunterlage befestigt.
Mittels der Ellipsenkonstruktion nach De La Hire (auch Konstruktion nach Proklus) können Ellipsenpunkte konstruiert werden, ohne dass die Brennpunkte angegeben sein müssen. Sind zwei konjugierte Durchmesser angegeben, kann man mit Hilfe der Rytz'schen Achsenkonstruktion die Haupt- und Nebenscheitel (und -achsen) bestimmen.
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Formeln zum Ellipsenumfang mit Beispielrechnung (http://www.mathematik-online.de/F57.htm#Ellipse)
Mehrere Links zu Ellipsenzirkeln:
[1] (http://members.aol.com/geometrie11/koorgeom/vellipse.html)
[2] (http://www.fh-lueneburg.de/u1/gym03/homepage/faecher/mathe/geometri/analytgeo/ellipsenzirkeleuk.htm)
[3] (http://home.eduhi.at/teacher/alindner/geonext/geonext/klasse4/ellipse/ell_zirkel_kreis.htm)
[4] (http://www.learn-line.nrw.de/angebote/selma/foyer/projekte/bielefeldproj2/plugin_cin/e_streifenkonstr.htm)
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